Un cuento célebre sobre los orígenes del ajedrez narra como un rey Indio, encantado con el innovador juego, convoca a su sabio inventor para recompensarlo con lo que deseara. El sabio inicialmente rehusó las ofertas del rey, expresando que no deseaba nada a cambio. Ante las insistencias del monarca el sabio cedió, y simplemente pidió: “un grano de trigo colocado en el primer cuadro del tablero, dos granos de trigo en el segundo, cuatro granos en el tercero, y que los montos se duplicaran por cada uno de los sesenta y cuatro cuadros del tablero”.

El rey quedó asombrado, y hasta se sintió un poco insultado, por lo que parecía una modesta recompensa por tan maravillosa invención. Sin dudarlo mucho, el rey aceptó la petición del sabio y ordenó a sus sirvientes traer los granos de trigo. Un grano por el primer cuadro, dos por el segundo, cuatro por el tercero; para cuando los sirvientes terminaron con la primera fila de ocho cuadros, el tablero ya tenía 255 granos en total, un puñado. Para el décimo sexto cuadro, el tablero tenía 65.535 granos; un saco de trigo.

Cuadro a cuadro, los sirvientes trajeron granos hasta vaciar las reservas de trigo en el palacio, luego de la ciudad, y eventualmente del país entero. Era causa perdida, puesto que para cumplir con la solicitud del sabio harían falta 18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo (18 trillones en escala numérica larga). Asumiendo que cada grano pesa 0,0647 gramos, la recompensa sería equivalente a 1.195.328.909.025 toneladas, o más de 1.500 veces la producción mundial de trigo en 2019.

El cuento es claramente apócrifo, con versiones más jocosas diciendo que el rey ordenó al sabio a manualmente contar cada grano antes de poder quedárselos. Lo que sí es muy real es el principio matemático subyacente: el crecimiento exponencial, que rige parte del proceso evolutivo de fenómenos socioeconómicos como la hiperinflación en Venezuela, y pandemias como la COVID-19; donde en vez de granos de trigo lo que crece fuera de control es el número de personas infectadas.

Del suelo al cielo en un instante

El crecimiento exponencial no es un concepto inusual, pero muchas veces escapa a la intuición convencional. Al igual que al rey en el cuento del ajedrez, nos puede agarrar desprevenidos la forma en que un número pequeño puede volverse gigantesco en un espacio corto, incluso cuando se sabe a priori que los números siguen una tendencia perfectamente consistente y predecible.  

En el crecimiento exponencial, también conocido como crecimiento geométrico, el cambio en el valor de una variable es proporcional al valor de esa variable a lo largo del tiempo; es decir, una cantidad que se va multiplicando por una constante de un momento a otro.

Esto puede observarse con mayor detenimiento en el siguiente gráfico, donde se compara el crecimiento lineal con el crecimiento exponencial. Ambas líneas empiezan con el mismo valor fijo (10) e irán creciendo conforme un valor de ajuste predeterminado. 

La secuencia lineal crece 100 en cada intervalo, por lo que pasa de 10 a 110 y sigue con 210, 310, 410. La secuencia exponencial crece por un factor de 2, es decir se duplica, en cada intervalo, así que pasará de 10 a 20, luego 40, 80, 160, 320. Aunque las diferencias iniciales parecen pequeñas, y el crecimiento lineal empieza con cierta ventaja, eventualmente el crecimiento exponencial alcanzará y superará a la senda lineal. 

Invitamos al lector a que extienda el número de días para que vea la evolución de las secuencias y qué tan marcada se vuelve la diferencia en un tiempo relativamente corto. También puede cambiar los parámetros de ajuste de ambas líneas para ver cómo reaccionan. Nótese lo sensible que es el crecimiento exponencial al factor de ajuste.

Para mantener simplicidad explicativa el simulador pone límites a los parámetros de las curvas. Lo que debe quedar claro es que de extenderse al infinito, eventualmente el crecimiento exponencial superará al lineal, y que la velocidad con que lo hace depende en gran parte de ese factor por el que sucesivamente se van multiplicando.  

Para la COVID-19, a partir del 18 de enero, el número de casos confirmados en un día tiende a ser en promedio 1,15 veces el número de casos del día anterior; o el equivalente a un aumento interdiario de 15%. El coronavirus dibuja una senda típica de crecimiento exponencial, con el origen de nuevos casos mañana siendo los casos existentes hoy.

A efectos de formalización simplificada, podemos decir que los casos de mañana son los casos de hoy multiplicados por un factor exponencial superior a 1. Y generalmente esta relación aplica tanto para los casos reales no observados, como para los casos observados (confirmados). 

Casos de mañana = Casos de hoy*Factor exponencial

Esta simplificación deja de lado muchas variables que se emplean en el estudio de modelaje de pandemias; por ahora lo que queremos destacar es que el número de casos en sí juega un papel en su propio crecimiento. 

Esto es más fácilmente observable si transformamos el gráfico anterior de casos confirmados a una escala logarítmica, en la que las marcas del eje vertical crecen por un factor en vez de hacerlo por cantidades fijas. Para este gráfico, el factor de las marcas del eje será 10. 

Bajo esta escala, el crecimiento exponencial con un factor constante se ve como una línea recta. En general los casos confirmados de COVID-19 se mueven alrededor de esa línea recta, con desviaciones explicadas por la variabilidad de la tasa de crecimiento de un día a otro.

Es en la escala logarítmica que es recomendable analizar el avance de las pandemias y demás fenómenos con crecimiento exponencial. No solo porque mantiene algo de detalle de la trayectoria inicial, sino porque permite intuir más fácilmente cuándo el virus se multiplica por el factor referencial, la velocidad con la que lo hace, y si su crecimiento sigue siendo exponencial o no.

Bajo esta óptica, podemos observar que hicieron falta 7 días para que los casos globales confirmados de COVID-19 pasaran de 100 a 1.000, 7 días para pasar de 1.000 a 10.000; y 37 días para pasar de 10.000 a 100.000 casos.

El número de casos globales es un agregado de casos nacionales, con países que presentan alta variabilidad entre ellos, tanto para el momento en que empezaron los brotes como sus respectivas sendas de crecimiento. En ese entorno, los principios del crecimiento exponencial sirven para conceptualizar una “mirada al futuro”, donde la trayectoria de un país puede describir la de otro con tasa de crecimiento similar, pero que está unos días atrás, a menos que se implementen medidas para cambiar esa trayectoria.

De esta forma Bahréin puede estar 16 días detrás de Japón. Alemania 6 días detrás de Italia y Turquía 21 días detrás de Irán. De igual forma, Estados Unidos sigue con una línea recta, que marca crecimiento exponencial, mientras China y Sur Corea parecen estabilizar sus números de casos confirmados. Claro está, todos estos datos están limitada a la capacidad de los estados de hacer pruebas, encontrar casos, y ser transparentes con dicha información.

Lamentablemente, los rezagos de algunas semanas entre el momento que se ejecutan medidas y la manifestación de sus efectos sobre la curva de casos hacen que pueda ser difícil de percibir si un país está efectivamente corrigiendo su curso o no. Esto sería preocupante si extendemos la progresión geométrica sin restricción. Al momento de escribir estas líneas el número de casos globales confirmados ya había sobrepasado 500.000. Asumiendo que la tasa de crecimiento interdiario se mantiene en 15%, tomaría 5 días alcanzar el millón de casos, y 55 días para alcanzar el millardo (1.000 millones) de casos. 

Pero no se puede simplemente extender esta curva ad-infinitum. En algún momento deja de crecer. Esto se debe a que en el mundo real los fenómenos que presentan tendencias exponenciales no pueden seguir con ellas de forma infinita, ya que hay límites en el espacio que pueden ocupar. Incluso la pandemia más contagiosa tiene como “techo” a los habitantes expuestos del lugar donde ocurre el brote.

La existencia de un límite superior implica que en la medida en que la pandemia se esparce, eventualmente se le acaban personas sanas a las cuales infectar en subsecuentes días. Dentro de su curso natural, eventualmente va a desacelerarse la tasa de crecimiento, y a efectos prácticos, el factor de multiplicación se irá acercando a 1 (cuando ya no hay nuevos casos).

Esto significa que durante la extensión de su vida entera, la curva de la pandemia deja de ser exponencial y se asemeja a una “S”, o función sigmoide. Su crecimiento pasa de ser exponencial a lo que se conoce como logístico.

Podemos volver al primer cuadro de ejemplo y añadir el crecimiento logístico, para que se compare con las curvas del crecimiento exponencial y lineal. Siguiendo las mismas reglas y parámetros, la curva logística inicialmente es casi igual a la curva exponencial, pero como impusimos un límite o “techo superior”, entonces eventualmente desacelerará su crecimiento y convergerá a ese número, mientras la línea de crecimiento exponencial sigue su curso.

Que las pandemias tengan un techo no representa en sí motivo de alivio, porque sin la aplicación de medidas para reducir la propagación del virus ese límite son los más de 7.000 millones de habitantes del planeta tierra. Pero el conocimiento adecuado de la dinámica exponencial y logística de este fenómeno facilita tanto el análisis del mismo como la orientación para resolverlo. Si se quiere resumir la implicación matemática de la mitigación de pandemias, estas se enfocan en bajar ese techo superior, y reducir ese factor de crecimiento exponencial.